<bold>FRP</bold>箍筋强度保留率分布模型与可靠性分析

江佳斐，吕佳豪，薛伟辰; JIANG Jiafei; LÜ Jiahao; XUE Weichen

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摘要

基于文献数据，采用假设检验法，开展纤维增强复合材料（FRP）箍筋强度保留率分布规律研究. 通过Kolmogorov‑Smirnov（K‑S）检验对比了Weibull分布、正态分布及对数正态分布这3种模型对FRP箍筋强度保留率的拟合优度.结果表明：当FRP箍筋弯折半径（R）与箍筋直径（D）之比（R/D）在常规范围内（3~5）时，对数正态分布为最优分布模型，据此得到95%和50%保证率下FRP箍筋强度保留率分别不小于32.46%和43.79%；中国、美国、日本和加拿大四国规范保留率预测公式计算结果的保证率仅为24.1%~40.3%，偏于不安全.根据中国FRP纵筋与箍筋的强度保证率要求，当R/D=3、4、5时玻璃纤维增强复合材料（GFRP）箍筋强度保留率不小于38.86%、35.68%、46.09%.

关键词

FRP箍筋; 强度保留率; 分布规律; K‑S检验; 可靠性

纤维增强复合材料（FRP）筋质量轻、强度高、耐腐蚀性优，可用来替代钢筋，解决混凝土结构中的钢筋锈蚀问题^［

1‑4］.FRP筋分为纵筋与箍筋，其中，FRP箍筋在构件抗剪与抗扭性能中发挥了重要作用，其强度设计值是FRP筋混凝土受剪及受扭构件承载力设计计算中的重要参数之一.FRP箍筋是由树脂和纤维复合而成的各向异性弹性材料^{［参考文献 5

百度学术}5］，其弯折段存在纤维应力分布不均匀的特点，且弯折段在混凝土构件中往往处于拉压双向应力状态，从而导致FRP箍筋在混凝土中的破坏强度（弯拉强度）低于其直线段抗拉强度且离散性大.为此，国内外学者开展了大量FRP箍筋强度保留率（弯拉强度与直线段抗拉强度之比）的试验研究^{［参考文献 6‑23}6‑23］.结果表明：影响FRP箍筋弯拉强度及强度保留率的因素包括箍筋弯折半径（R）、箍筋直径（D）、箍筋弯折半径与箍筋直径之比（R/D）、箍筋类型、生产工艺及质量控制等；普遍认为R/D为主要影响因素，但缺乏基于数据库的相关性分析依据；提出了基于数值回归的强度保留率经验公式，但尚未开展基于强度保留率分布模型的可靠性分析.

鉴于此，本文通过文献调研建立FRP箍筋弯拉强度及强度保留率（S）的数据库，并通过假设检验法确定FRP箍筋强度保留率的最优分布模型.在此基础上进行可靠性分析，并以工程中最为常用的玻璃纤维增强复合材料（GFRP）箍筋为例，提出基于箍筋强度设计要求的箍筋强度保留率的合理取值.

1 数据库的建立

1.1 数据收集与筛选

国内外学者自21世纪初即开展了众多FRP箍筋强度试验研究.本文在公开发表的论文^［

6‑23］中收集整理出159组数据，建立FRP箍筋强度试验数据库，其中试验参数包括：箍筋类型（玻璃纤维增强复合材料（GFRP）、碳纤维增强复合材料（CFRP）、玄武岩纤维增强复合材料（BFRP））、箍筋纤维含量、截面形状、箍筋直径（D，矩形断面厚度，按照文献［10］采用的等效方法换算为等效直径）、箍筋的弯折半径（R）、弯折半径与箍筋直径之比（R/D）、FRP箍筋直线段抗拉强度、箍筋弹性模量及试验方法等.

Imjai等^［

8］在进行FRP箍筋弯拉强度试验时发现，弯折段前端黏结长度较长会产生应力递减，导致破坏位置出现在非弯折段，此时箍筋破坏强度大于弯拉强度. 此外，FRP箍筋的尾部锚固长度也是影响破坏模式的重要参数.El‑Sayed等^{［参考文献 12

百度学术}12］研究了FRP箍筋尾部锚固长度（3D、6D、9D、12D、15D）对破坏模式的影响，得出能充分发挥FRP箍筋弯拉强度的最小尾部锚固长度为6D. FRP箍筋弯拉强度标准测试方法^{［参考文献 24

百度学术}24］中要求最小尾部锚固长度也为6D.因此，本研究所建数据库剔除了箍筋弯折段前端有黏结和箍筋尾部锚固长度小于6D的数据.此外，部分箍筋试件由于弯折段采用树脂补强措施，其相关数据也被剔除.按照破坏模式一致、试验方法统一和无补强措施的原则，筛选出59组FRP箍筋弯拉强度试验数据，用于分析FRP箍筋强度保留率的分布规律.

1.2 多影响因素的相关性分析

由于影响FRP箍筋强度保留率的参数众多，本研究基于Pearson相关性理论，先对FRP箍筋强度保留率与各影响因素之间的相关性进行分析.

Pearson相关系数（r）又称积差相关系数^［

25］，是衡量2个变量集合之间线性相关程度的指标，计算式为：

r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt[]{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} {- \bar{X})}^{2}} \sqrt[]{\sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} {- \bar{Y})}^{2}}}

（1）

式中： $X_{i}$ 、 $Y_{i}$ 分别表示变量X和Y的每个具体值； $\bar{X}$ 、 $\bar{Y}$ 分别表示变量X、Y的所有数据的平均值；n表示变量X与Y的数据量.

r是一个无量纲的统计指标. r > 0表明变量X与Y正相关；r < 0表明变量X与Y负相关；r = 0表明变量X与Y不相关.|r|越接近1，两变量之间的相关程度就越密切.变量间相关程度与r的对应关系如表1所示.

表1 变量间相关程度与Pearson相关系数的对应关系

Table 1 Relationship between correlation degree and Pearson correlation coefficient^{［参考文献 25

百度学术}25］

Correlation degree	∣r∣
Uncorrelation	［0,0.3）
Weak correlation	［0.3,0.5）
Significant correlation	［0.5,0.8）
Strong correlation	［0.8,1］

表2为通过Pearson相关性理论计算得出的FRP箍筋强度保留率与各影响因素间的相关系数.由表2可见，R/D的∣r∣最高，为0.63，其他参数的∣r∣均小于0.30，与0.63存在明显差距.这表明FRP箍筋强度保留率与R/D显著相关，其他影响因素对FRP箍筋强度保留率的影响极小，不足以支撑开展数据间的规律分析，可忽略其相关性. 因此，本文以R/D作为主要变量，进一步分析FRP箍筋强度保留率的分布规律.

表2 FRP箍筋强度保留率与各影响因素间的相关性

Table 2 Relationship between strength retention rate of FRP stirrup and various influencing factors

Factor	r
Type of FRP stirrup	0.12
Test method	-0.28
Section shape of stirrup	0.07
Fiber content	0.07
Diameter	-0.24
Bend radius	0.19
R/D	0.63
Tensile strength	0.24
Elastic modulus	0.28

1.3 箍筋强度保留率数据库的建立

基于试验数据的筛选原则与相关性分析结果，筛选出的59组数据涵盖了工程中常用的FRP箍筋类型（GFRP、BFRP、CFRP）及箍筋的R/D范围（3~5）.详细数据来源^［

6‑8，11‑12，21‑22］及FRP箍筋保留率如表3所示.

表3 FRP箍筋强度保留率数据库

Table 3 Database of strength retention rate of FRP stirrups

Author	Type of stirrup	Section shape	D/mm	R/mm	R/D	Bend strength/ MPa	Tensile strength/MPa	S/%
Li， et al.^{[参考文献 6 百度学术}6]	CFRP	Rectangle	2.0	8	4	1 086	2 480	43.8
Ahmed, et al.^{[参考文献 7 百度学术}7]	GFRP	Circular	9.5-19.1	38-76	4	240-712	533-1 538	32.9-58.3
Imjai， et al.^{[参考文献 8 百度学术}8]	GFRP	Rectangle/circular	3.0-13.5	9-54	3-5	271-464	690-720	36.6-64.4
Shehata， et al.^{[参考文献 11 百度学术}11]	CFRP	Rectangle/circular	5.0-12.0	20-50	4	345-793	713-1 800	44.1-56.1
El‑Sayed， et al.^{[参考文献 12 百度学术}12]	CFRP	Circular	9.5-12.7	38-51	4	539-761	1 224-1 328	44.0-57.3
WANG， et al.^{[参考文献 21 百度学术}21]	GFRP	Circular	7.0	20	3	387	1 045	37.0
Lu^{[参考文献 22 百度学术}22]	BFRP	Circular	6.0-8.0	24-32	4	347-594	1 096-1 604	31.6-39.1

2 结果与讨论

本文采用Weibull分布、正态分布和对数正态分布3种分布模型，对不同R/D情况下FRP箍筋强度保留率数据进行拟合.并通过线性回归分析及Kolmogorov‑Smirnov（K‑S）检验确定最优分布模型.

2.1 线性回归分析

先将以上3种分布模型的概率累积分布函数表达式线性变换为y=ax+b形式，如表4^［

26］所示；再代入FRP箍筋强度保留率数据，求得相应分布模型中的均值μ、标准差σ及决定系数R²，并对3种分布模型进行显著性检验，结果见表5. 由表5可见：不同R/D情况下，3种分布模型的R²均远超工程常用显著性水平α=0.01或α=0.05时的决定系数临界值.这说明3种分布模型均可表征FRP箍筋强度保留率的分布规律.

表4 3种分布模型的线性变换关系

Table 4 Linear transformation relationship of three distribution models^{［参考文献 26

百度学术}26］

Distribution model	Cumulative distribution function	y	x	a	b
Weibull	$F (S) = 1 - e^{- {(\frac{S}{μ})}^{σ}}$	$l n l n \frac{1}{1 - F (S)}$	$l n S$	$σ$	$σ l n μ$
Normal	$F (S) = \frac{1}{σ \sqrt[]{2 π}} \int_{- \infty}^{S} e^{\frac{- {(S - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} d S$	$Φ^{- 1} [F (S)]$	$S$	$\frac{1}{σ}$	$- \frac{μ}{σ}$
Lognormal	$F (S) = \frac{1}{σ S \sqrt[]{2 π}} \int_{- \infty}^{S} e^{\frac{- {(l n S - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} d S$	$Φ^{- 1} [F (S)]$	$l n S$	$\frac{1}{σ}$	$- \frac{μ}{σ}$

Note： F（S） represents the cumulative distribution function of Weibull distribution， normal distribution and lognormal distribution； μ and σ are the mean and standard deviation of different distribution models； a，b represents the slope and intercept of the linear function after linear regression，respectively.

表5 3种分布模型的均值、标准差及显著性检验结果

Table 5 Mean，standard deviation and significance test results of three distribution models

R/D	Weibull			Normal			Lognormal			Critical value of significant level
R/D	$μ$	$σ$	R²	$μ$	$σ$	R²	$μ$	$σ$	R²	$α$ =0.01	$α$ =0.05
3	46.22	9.98	0.917	44.04	5.42	0.952	44.11	5.33	0.966	0.575	0.456
4	48.04	6.63	0.941	44.84	8.28	0.970	44.92	8.44	0.980	0.440	0.345
5	56.45	8.95	0.957	53.59	7.14	0.968	53.72	7.36	0.958	0.684	0.553

图1为不同R/D情况下3种分布模型的线性回归结果.由图1可见：当R/D=3或R/D=4时，3种分布模型中R²呈现统一规律，即对数正态分布的R²>正态分布的R²>Weibull分布的R²；当R/D=5时，3种分布模型中R²值基本相等，这主要跟样本数量有关，R/D=3数据量17组，R/D=4数据量31组，而R/D=5的数据只有11组，表明当样本数量较小时，3种分布模型的R²值区别不明显.

图1 不同R/D情况下3种分布模型的线性回归结果

Fig.1 Linear regression results of three distribution models with different R/D values

2.2 K‑S检验

K‑S检验^［

27］是用来检验一组数据是否服从某种理论分布的方法. 该方法通过对比统计量D_N与给定显著性水平α下的临界值D_N，α来确定拟合优度. 当D_N<D_N，α时，分布模型可以表征样本数据的分布规律，且D_N越小，分布模型的拟合优度越高. D_N表达式为：

D_{N} = m a x [| F_{j} (S_{j}) - F (S_{j}) |], 1 \leq j \leq N

（2）

式中：j为按照强度保留率由小到大排序的序号；S_j为序号为j的FRP箍筋强度保留率；N表示样本数据总量；F_j（S_j）为由累计分布函数计算得到的强度保留率达到S_j时的失效概率理论值；F（S_j）为通过中位秩法计算所得箍筋强度保留率达到S_j时的失效概率， $F (S_{j}) = (j - 0.3) / (N + 0.4)$ .

选取工程上常用的显著性水平α=0.01和α=0.05，进行不同R/D情况下K‑S检验，结果如表6所示. 由表6可知：3种分布模型在不同R/D情况下的D_N值均小于D_N，α；对数正态分布模型中的D_N值在3种R/D情况下最小，为最优分布模型.

表6 K‑S检验结果

Table 6 K‑S test results

R/D	N	D_N			D_N,α
R/D	N	Weibull	Normal	Lognormal	$α$ =0.01	$α$ =0.05
3	17	0.107	0.086	0.081	0.381	0.318
4	31	0.101	0.070	0.061	0.285	0.240
5	11	0.094	0.097	0.077	0.468	0.391

2.3 最优分布模型确定

线性回归分析与K‑S检验结果表明：虽然3种分布模型在一定程度上均可表征FRP箍筋强度保留率的分布规律；但3种分布模型的R²和D_N值对比分析显示，对数正态分布模型是表征FRP箍筋强度保留率分布规律的最优模型.

3 可靠性分析

3.1 基于对数正态分布模型的可靠性计算

本文基于FRP箍筋强度保留率最优分布模型——对数正态分布模型，采用式（3）计算得到不同R/D情况下FRP箍筋强度的保留率-保证率（R（S））曲线，如图2所示.

R (S) = 1 - F (S)

（3）

图2 不同R/D情况下FRP箍筋强度保留率-保证率曲线

Fig.2 Strength retention rate‑reliability curves of FRP stirrup under different R/D values

根据试验值，将采用中位秩法得到的保留率-保证率曲线也绘于图2. 由图2可见：3种R/D情况下，采用这2种方法得到的曲线吻合度较好.

3.2 现行规范中强度保留率的可靠性分析

中国^［

28］、美国^{［参考文献 29

百度学术}29］、日本^{［参考文献 30

百度学术}30］和加拿大^{［参考文献 31

百度学术}31］规范中FRP箍筋强度保留率通过式（4）计算得到.

\frac{f_{f b}}{f_{f u}} = 0.05 \times \frac{R}{D} + 0.3

（4）

式中：f_fb表示FRP箍筋弯拉强度；f_fu表示FRP箍筋直线段抗拉强度.

基于FRP箍筋强度保留率满足对数正态分布规律，本文对各国现行规范中的FRP箍筋强度保留率进行可靠性分析，结果显示：当R/D=4时，各国规范中FRP箍筋强度保留率计算值的保证率仅为24.1%；当R/D=3、5时，FRP箍筋强度保留率计算值的保证率分别为40.3%、39.5%，均小于50%，总体上偏于不安全.

3.3 不同保证率下的FRP箍筋强度保留率

当FRP箍筋强度保留率服从对数正态分布时，在某一保证率下的保留率可按式（5）计算.

S = e^{(z σ + μ)}

（5）

式中：z为将对数正态分布转换为标准正态分布时对应的参数，可查表确定.

表7列出了3种R/D情况下，当保证率为5%、50%和95%时FRP箍筋强度保留率及其均值.由表7可知：（1）在较低的保证率下，FRP箍筋强度保留率随着R/D的增加而增大；当保证率不小于50%时，FRP箍筋强度保留率随R/D变化的规律相近，即当R/D=3、4时强度保留率相近，R/D=5时强度保留率显著提升.其原因在于，当R/D=3、4、5时对数正态分布函数参数不同（表5），从而导致不同保证率下FRP箍筋强度保留率随R/D变化趋势也略有不同.（2）50%保证率下FRP箍筋强度保留率与均值接近，最大绝对偏差仅为0.25%，最大相对偏差仅为0.57%，说明基于试验均值得到的FRP箍筋强度保留率的保证率为50%；95%和50%保证率下，FRP箍筋强度保留率分别不小于32.46%和43.79%.

表7 不同保证率下的FRP箍筋强度保留率

Table 7 Strength retention rate of FRP stirrup under different reliabilities

R/D	$μ$	$σ$	R（S）/%	S/%	$\bar{S}$ /%
3	44.11	5.33	95	35.90	44.04
			50	43.79
			5	53.41
4	44.92	8.44	95	32.46	44.85
			50	44.15
			5	60.04
5	53.72	7.36	95	42.50	53.58
			50	53.22
			5	66.66

3.4 基于筋材强度设计要求的FRP箍筋强度保留率

本文基于上述提出的FRP箍筋强度保留率分布模型和已有的工程应用最多的GFRP纵筋抗拉强度分布模型^［

32‑33］，采用蒙特卡洛法模拟得到GFRP箍筋弯拉强度分布模型.当模拟次数达到100万次时，GFRP箍筋弯拉强度数据点的分布规律趋于稳定，并满足对数正态分布，如图3所示.按照国内规范^{［参考文献 28

百度学术}28］要求，取95%保证率的GFRP箍筋弯拉强度和GFRP纵筋抗拉强度来计算强度保留率，计算结果表明：当R/D分别为3、4、5时，GFRP箍筋强度保留率分别为38.86%、35.68%、46.09%，其保留率的保证率分别为85.8%、88.9%、85.4%.

图3 GFRP箍筋弯拉强度分布规律

Fig.3 Distribution law of bend strength of GFRP stirrups

4 结论

（1）在159组影响FRP箍筋强度保留率试验数据的基础上，基于有效数据筛选原则与相关性分析结果，得到由59组数据构成且按弯折半径R与箍筋直径D之比R/D分组的FRP箍筋强度保留率数据库，用于确定分布模型.

（2）综合线性回归分析和K‑S检验结果，研究发现Weibull分布、正态分布和对数正态分布模型均可表征FRP箍筋强度保留率的分布规律，且对数正态分布为最优分布模型.

（3）中国、美国、日本和加拿大现行规范中FRP箍筋强度保留率计算值的保证率均小于50%. 当R/D=3、5时，保证率为40.3%、39.5%；当R/D=4时，保证率仅为24.1%，总体上偏不安全.

（4）根据中国FRP纵筋与箍筋的强度设计要求，当R/D=3、4、5时GFRP箍筋强度保留率分别为38.86%、35.68%、46.09%.

需要说明的是，本文中FRP箍筋强度保留率的相关结论仅适用于采用连续纤维拉挤工艺生产的FRP箍筋，采用模压工艺成型的FRP箍筋强度保留率的可靠性仍需进一步开展相关研究.

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